Question

已知f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ（m，n∈N^*）的展開式中x的系數為19，求f（x）的展式式中x²的系數的最小值．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出展開式的x的系數，列出方程得到m，n的關系；利用二項展開式的通項公式求出x²的系數，
將m，n的關系代入得到關于m的二次函數，配方求出最小值

解答：解：f（x）=1+C_m¹x+C_m²x²+…+C_m^mx^m+1+C_n¹x+…+C_nⁿxⁿ=2+（C_m¹+C_n¹）x+（C_m²+C_n²）x²+…（2分）
由題意m+n=19（m，n∈N^*）…（4分）
x²項的系數為

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=(m-

19

2

)2+

19×17

4

…（8分）
∵m，n∈N^*
∴當m=9或10時，即m=10，n=9或m=9，n=10時，x²項的系數取得最小值，最小值為81…（12分）

點評：本題考查二項式定理的應用，本題考查利用二項展開式的通項公式求二項展開式的特殊項問題；利用賦值法求二項展開式的系數和問題．解題時要認真審題，仔細解答．