Question

已知數列{a_n}滿足條件（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），a₂=6，令b_n=a_n+n（n∈N^*）
（Ⅰ）寫出數列{b_n}的前四項；
（Ⅱ）求數列{b_n}的通項公式，并給出證明；
（Ⅲ）是否存在非零常數p，q，使得數列{

an

pn+q

}成等差數列？若存在，求出p，q滿足的關系式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），可分別求得a₁，a₃，a₄，進而求得b₁，b₂，b₃，b₄．
（2）由（1）知b₁=2×1²，b₂=2×2²，b₃=2×3²，b₄=2×4²由此猜測b_n=2n²．進而用數學歸納法證明．
（3）假設存在非零常數p，q，使得數列{

an

pn+q

}成等差數列，設其公差為d，令c_n=

an

pn+q

=

2n2-n

pn+q

，進而根據等差數列通項公式求得c_n，建立等式化簡整理后即可求得

p

q

=-2，進而判斷存在滿足關系p=-2q的非零常數p，q，使得數列{

an

pn+q

}成等差數列．

解答：解：（Ⅰ）在∵（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），中，
由∴a₁=1，a₃=15．a₄=28；
∴b₁=2，b₂=8，b₃=18，b₄=32
（Ⅱ）由（1）知b₁=2×1²，b₂=2×2²，b₃=2×3²，b₄=2×4²
．由此猜測b_n=2n²．
下面用數學歸納法證明：
①當n=1時猜想顯然成立；
②假設n=k（k≥2）猜想成立，即b_k=2k²，則有a_k=2k²-k，
根據題意，得（k-1）a_k+1=（k+1）（a_k-1）=（k+1）（2k²-k-1），解出a_k+1=（k+1）（2k+1），
于是b_k+1=a_k+1+k+1=（k+1）（2k+1）+（k+1）=2（k+1）²，
，即當n=k+1時猜想也成立．
綜合①②得對于所有n∈N^*都有b_n=2n²
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a_n=2n²-n，
假設存在非零常數p，q，使得數列{

an

pn+q

}成等差數列，設其公差為d，
令c_n=

an

pn+q

=

2n2-n

pn+q

，則有c_n=c₁+（n-1）d=dn+c₁-d，
從而

2n2-n

pn+q

=dn+c₁-d，
化簡得：2n²-n=dpn²+[dq+p（c₁-d）]n+q（c₁-d）．
所以有

dp=2 dq+p(c1-d)=-1 q(c1-d)=0

，
∵q≠0
∴c₁=d∴dq=-1
∴

p

q

=-2
故存在滿足關系p=-2q的非零常數p，q，使得數列{

an

pn+q

}成等差數列

點評：數列往往是難度較高的題，主要考查學生的探究能力，從近幾年的高考來觀察可發現數列對選拔性取著非常重要的作用．