Question

已知定義域為的函數同時滿足以下三個條件：
[1] 對任意的，總有；
[2] ；
[3] 若，，且，則有成立，
并且稱為“友誼函數”，請解答下列各題：
(1)若已知為“友誼函數”，求的值；
(2)函數在區間上是否為“友誼函數”？并給出理由.
(3)已知為“友誼函數”，假定存在，使得且，
求證：.

Answer 1

（1）（2）為友誼函數

（1）取得，-------2分
又由，得           --------------- 3分
（2）顯然在上滿足[1] ；[2] .-------5分
若，，且，則有

故滿足條件[1]、[2]、[3]，所以為友誼函數.--8分
(3)由 [3]知任給其中，且有，不妨設則必有：-----------------------------9分
所以：
所以：.-----------------------------------10分
依題意必有,
下面用反證法證明：假設，則有或
（1）若，則，這與矛盾；--12分
(2)若，則，這與矛盾；
故由上述（1）、（2）證明知假設不成立，則必有，證畢.----14分