Question

我們規定：對于任意實數A，若存在數列{a_n}和實數x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，則稱數A可以表示成x進制形式，簡記為：．如：，則表示A是一個2進制形式的數，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），試將m表示成x進制的簡記形式．
（2）若數列{a_n}滿足a₁=2，，（n∈N^*），是否存在實常數p和q，對于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數t滿足t≠0且t＞-1，，求．

Answer 1

解：（1）m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³
則
（2）
∵∴
∴=a_n（n∈N*），知{a_n}是周期為3的數列     
假設存在實常數p和q，對于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q總成立，則：
===
∴．
即存在實常數，對于任意的n∈N*，總成立    
（3）=
∴，即
分析：（1）先將m=（1-2x）（1+3x²）展開，再根據定義，將m表示成x進制的簡記形式．
（2）由題意，知{a_n}是周期為3的數列．假設存在實常數p和q，對于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q總成立，則由定義可得．
（3）先求=，再求極限．
點評：本題以新定義為載體，考查數列及極限，關鍵是理解新定義，合理轉化，需要計算細心．