Question

如圖，灌溉渠的橫截面是等腰梯形，底寬2米，邊坡的長為x米、傾角為銳角α．
（1）當α=

π

3

且灌溉渠的橫截面面積大于8平方米時，求x的最小正整數值；
（2）當x=2時，試求灌溉渠的橫截面面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據題意可分別表示出梯形的高和上底長，進而可求得橫截面的面積的表達式，把α=

π

3

代入S的解析式，利用二次函數的性質判斷其單調性，進而推斷x=2和x=3時S的值，求得x的最小正整數值．
（2）把x代入S的解析式中通過對S的函數進行求導，判斷S的單調性進而推斷出S的最大值．

解答：解：由已知得等腰梯形的高為xsinα，上底長為2+2xcosα，
從而橫截面面積S=

1

2

（2+2+2xcosα）•xsinα=x²sinαcosα+2xsinα．
（1）當α=

π

3

時，面積S=

3

4

x2+

3

x是（0，+∞）上的增函數，
當x=2時，S=3

3

＜8；當x=3時，S=

9 3

4

+3

3

＞8．
所以，灌溉渠的橫截面面積大于8平方米時，x的最小正整數值是3．
（2）當x=2時，S=4sinαcosα+4sinα，S'=4cos²α-4sin²α+4cosα
=4（2cos²α+cosα-1）=4（2cosα-1）•（cosα+1），
由S′=0及α是銳角，
得α=

π

3

．當0＜α＜

π

3

時，S′＞0，S是增函數；
當

π

3

＜α＜

π

2

時，S′＜0，S是減函數．所以，當α=

π

3

時，S有最大值3

3

．
綜上所述，灌溉渠的橫截面面積的最大值是3

3

．

點評：本題主要考查了在實際問題中建立三角函數模型．考查了考生運用所學知識解決實際問題的能力．