Question

已知一四棱錐P-ABCD的三視圖如下，E是側棱PC上的動點．
（1）是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結論；
（2）若點E為PC的中點，求證PA∥平面BDE；
（3）求由點A繞四棱錐P-ABCD的側面一周回到點A的最短距離．

Answer 1

分析：（1）由ABCD是正方形可得BD⊥AC，由PC⊥底面ABCD可得BD⊥PC，由線面垂直的判定定理得BD⊥平面PAC，進而由線面垂直的性質得到不論點E在何位置，都有BD⊥AE
（2）連接AC交BD于F，連接EF，由中位線定理及線面平行的判定定理可證得PA∥平面BDE；
（3）（3）將四棱錐的側面沿PA展開，將空間問題轉化為平面上兩點之間線段最短，解△PAA′可得答案．

解答：解：（1）不論點E在何位置，都有BD⊥AE
證明如下：連接AC，
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
∵PC⊥底面ABCD 且BD?平面ABCD
∴BD⊥PC  …（2分）
又∵AC∩PC=C
∴BD⊥平面PAC　    …（3分）
∵不論點E在何位置，都有AE?平面PAC
∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE      …（4分）
證明：（2）連接AC交BD于F，連接EF，則點F為BD的中點，
又點E為PC的中點，
∴EF∥PA，
又EF?平面BDE，
∴PA∥平面BDE…（9分）
（3）將四棱錐的側面沿PA展開，如圖示，則AA′即為所求．
在Rt△PCD中，sin∠DPC=

1

5

，cos∠DPC=

2

5

；
在Rt△ADP中，sin∠APD=

1

6

，cos∠APD=

5

6

；sin∠APC=sin(∠DPC+∠APD)=

1

5

•

5

6

+

2

5

•

1

6

=

5 +2

30

；…（12分）
∴AA′=2PA•sin∠APC=2

6

•

( 5 +2)

30

=

10+4 5

5

；…（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質及判定定理，直線與平面平行的判定定理，多面體表面上的最短距離問題，是立體幾何線面關系及轉化思想的綜合應用，難度中檔．