Question

（2012•濰坊二模）已知函數f（x）=a^x+x²，g（x）=xlna．a＞1．
（I）求證函數F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（II）若函數y=|F(x)-b+

1

b

|-3有四個零點，求b的取值范圍；
（III）若對于任意的x₁，x₂∈[-1，1]時，都有|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數，可得f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，確定f'（x）＞0，即可得函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
（II）先判斷函數F（x）的極小值，再由y=|F(x)-b+

1

b

|-3有四個零點，進行等價轉化方程有解問題，去掉絕對值，變成兩個方程，根據F（x）≥1，解出b的范圍；
（Ⅲ）分析可得，|F(x2)-F(x1)|≤e2-2可以轉化為F（x）的最大值減去F（x）的最小值小于或等于e²-2，由單調性知，F（x）的最大值是F（1）或F（-1），最小值F（0）=1，由F（1）-F（-1）的單調性，判斷F（1）與F（-1）的大小關系，再由F（x）的最大值減去最小值F（0）小于或等于e²-2，構造方程即可求出a的取值范圍．

解答：（I）證明：∵函數f（x）=a^x+x²，g（x）=xlna，
F（x）=a^x+x²-xlna
求導函數，可得F′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，
∴lna＞0，當x＞0時，a^x-1＞0，
∴F′（x）＞0，故函數F（x）在（0，+∞）上單調遞增．
（Ⅱ）解：令F′（x）=2x+（a^x-1）lna=0，得到x=0，
F′′（x）=a^x（lna）²+2＞0，F′（x）為單調增函數，說明x=0是唯一的極值點，也是最小值點；F（0）=1，
∵F′（0）=0，∴當x＜0時，F′（x）＜0，為減函數；
F（x），F′（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
F′（x）	-	0	+
F（x）	遞減	極小值1	遞增

∵函數y=|F(x)-b+

1

b

|-3=0，也即|F(x)-b+

1

b

|=3，有四個零點；
∴等價于方程

F(x)-b+ 1 b =3…① F(x)-b+ 1 b =-3…②

有解，∵F（x）≥F（0）=1，
由①得，F（x）=3+b-

1

b

≥1，即

b2+2b-1

b

＞0，解得b＞

2

-1或-1-

2

＜b＜0；
由②得，F（x）=-3+b-

1

b

≥1，即

b2-4b-1

b

＞0，解得，b＞2+

5

或2-

5

＜b＜0；
綜上得：b＞2+

5

或2-

5

＜b＜0；
（Ⅲ）解：問題等價于F（x）在[-1，1]的最大值與最小值之差小于等于e²-2．
由（Ⅱ）可知F（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，
∴F（x）的最小值為F（0）=1，最大值等于F（-1），F（1）中較大的一個，
F（-1）=

1

a

+1+lna，F（1）=a+1-lna，F（1）-F（-1）=a-

1

a

-2lna，
記g（t）=t-

1

t

-2lnt（t＞0），
∵g′（t）=1+

1

t2

-

2

t

=（

1

t

-1）²≥0（當t=1等號成立）
∴g（t）在t∈（0，+∞）上單調遞增，而g（1）=0，
所以當t＞1時，g（t）＞0；當0＜t＜1時，g（t）＜0，
也就是當t＞1時，F（1）-F（-1）＞0，即F（1）＞F（-1）；
又由a＞1時，則F（x）的最小值為F（0）=1，最大值為F（1）=a+1-lna，
則|F(x2)-F(x1)|≤e2-2⇒F（1）-F（0）=a-lna≤e²-2，
令h（x）=x-lnx（x＞1），h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

在（1，+∞）上恒大于0，
∴h（x）在（1，+∞）上單調遞增，又a＞1，∴h（a）=a-lna≤e²-2=h（e²）
解得a≤e²；
則a的取值范圍為a∈（1，e²]．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的零點，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是利用導數確定函數的最值．