Question

設(shè)f(x)=2(log2x)2+2alog2

1

x

+b，已知當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）有最小值-8，
（1）求a，b；
（2）滿足f（x）＞0的x集合．

Answer 1

分析：（1）令log₂x=t，則有f（x）=2t²-2at+b=g（t），可得當(dāng)t=

a

2

時(shí)，g（t）取得最小值．即當(dāng)log2

1

2

=

a

2

時(shí)，g（t）取得最小值為 2(

a

2

)2-2a×

a

2

+b=-8．
由此求得a、b的值．
（2）由f（x）＞0 可得 2t²+4t-6＞0，解得t的范圍，可得x的范圍．

解答：解：（1）令log₂x=t，則有f（x）=2t²-2at+b=g（t），
故由題意可得，當(dāng)t=

a

2

時(shí)，g（t）取得最小值．
故當(dāng)log2

1

2

=

a

2

 時(shí)，g（t）取得最小值為 2(

a

2

)2-2a×

a

2

+b=-8．
解得a=-2，b=-6．
（2）由f（x）＞0 可得  2t²+4t-6＞0，
解得 t＜-3，或t＞1，即log₂x＜-3，或 log₂x＞1，
解得 0＜x＜

1

8

，或 x＞2，
故所求的x的集合為 {x|0＜x＜

1

8

 ，或x＞2}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．