Question

已知平面上一定點C（4，0）和一定直線l：x=1，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且(

PC

+2

PQ

)•(

PC

-2

PQ

)=0．
（1）問：點P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；
（2）設直線l：y=kx+1與（1）中的曲線交于不同的兩點A、B，是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過點D（0，-2）？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P的坐標為（x，y），由(

PC

+2

PQ

)•(

PC

-2

PQ

)=0，得|

PC

|2-4|

PQ

|2=0，由此能判斷P點在雙曲線上，并能求出其方程．
（2）設A，B點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由

y=kx+1 x2 4 - y2 12 =1

得：（3-k²）x²-2kx-13=0，然后利用韋達定理和根的判別式能推導出-

13

2

＜k＜

13

2

．再由以AB為直徑的圓過D（0，-2），得

y1+2

x1

•

y2+2

x2

=-1，所以(k2+1)x1x2+3k(x1+x2)+9=0⇒(k2+1)(-

13

3-k2

)+3k•

2k

3-k2

+9=0，由此能夠導出存在k值為±

14

4

．

解答：解：（1）設P的坐標為（x，y），由(

PC

+2

PQ

)•(

PC

-2

PQ

)=0
得|

PC

|2-4|

PQ

|2=0，
∴（x-4）²+y²-4（x-1）²=0，…（3分）
化簡得

x2

4

-

y2

12

=1．
∴P點在雙曲線上，其方程為

x2

4

-

y2

12

=1．…（4分）
（2）設A，B點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2 4 - y2 12 =1

得：（3-k²）x²-2kx-13=0，…（6分）
∴x1+x2=

2k

3-k2

，x1x2=-

13

3-k2

，
∵AB與雙曲線交于兩點，
∴△＞0，即4k²-4（3-k²）（-13）＞0，
解得-

13

2

＜k＜

13

2

．…（8分）
∵若以AB為直徑的圓過D（0，-2），則AD⊥BD，
∴k_AD•k_BD=-1，…（10分）
即

y1+2

x1

•

y2+2

x2

=-1，
∴（y₁+2）（y₂+2）+x₁x₂=0⇒（kx₁+3）（kx₂+3）+x₁x₂=0
∴(k2+1)x1x2+3k(x1+x2)+9=0⇒(k2+1)(-

13

3-k2

)+3k•

2k

3-k2

+9=0
解得k2=

7

8

，∴k=±

14

4

∈(-

13

2

，

13

2

)，故存在k值為±

14

4

．…（13分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．