Question

已知等差數列{a_n}中，a₃+a₇＜2a₆且a₃，a₇是方程x²-18x+65=0的兩根，數列{b_n}的前項和S_n=1-b_n．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項的和T_n，并證明

1

2

≤Tn＜3．

Answer 1

分析：（1）先判斷數列{a_n}是遞增數列，可得a₃＜a₇．利用a₃，a₇是方程x²-18x+65=0的兩根，即可求得公差d=

a7-a3

7-3

=2，從而可求數列{a_n}的通項公式；由S_n=1-b_n得，當n=1時，b1=

1

2

，當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1，即可求數列{b_n}的通項公式；
（2）由（1）得cn=

2n-1

2n

，Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，利用錯位相減法求和，即可證得．

解答：（1）解：由a₃+a₇=2a₅＜2a₆得a₅＜a₆，所以數列{a_n}是遞增數列．…（1分）
所以a₃＜a₇．由x²-18x+65=0解得a₃=5，a₇=13…（2分）
公差d=

a7-a3

7-3

=2，所以a_n=a₃+（n-3）d=2n-1（n∈N^*）…（3分）
由S_n=1-b_n得，當n=1時，b1=

1

2

；…（4分）
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1，得bn=

1

2

bn-1…（5分）
所以{b_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，所以bn=

1

2n

(n∈N*)…（6分）
（2）證明：由（1）得cn=

2n-1

2n

，Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

…（7分）
所以由錯位相減法得Tn=3-

2n+3

2n

＜3…（9分）
因為Tn+1-Tn=3-

2n+5

2n+1

-3+

2n+3

2n

=

2n+1

2n+1

＞0
所以{T_n}是遞增數列，所以Tn≥T1=

1

2

故

1

2

≤Tn＜3…（13分）

點評：本題考查根與系數的關系，考查數列的通項的求解，考查數列的求和與不等式的證明，解題的關鍵是正確求出數列的通項．