Question

設函數f （x）=ax ²+8x+3 （a＜0）．對于給定的負數a，有一個最大的正數l（a），使得在整個 區間[0，l（a）]上，不等式|f （x）|≤5都成立．
問：a為何值時l（a）最大？求出這個最大的l（a）．證明你的結論．

Answer 1

分析：利用配方法通過函數的最小值的討論，求出最大值的表達式，通過對數不等式，求出最大的正數l（a）．

解答：解：f（x）=a（x+

4

a

）²+3-

16

a

．
（1）當3-

16

a

＞5，即-8＜a＜0時，
l（a）是方程ax²+8x+3=5的較小根，故l（a）=

-8+ 64+8a

2a

．
（2）當3-

16

a

≤5，即a≤-8時，
l（a）是方程ax²+8x+3=-5的較大根，故l（a）=

-8- 64-32a

2a

．
綜合以上，l（a）=

-8- 64-32a 2a ，(a≤-8) -8+ 64+8a 2a (-8＜a＜0

當a≤-8時，l（a）=

-8+ 64-32a

2a

=

4

4-2a -2

≤

4

20 -2

=

1+ 5

2

；
當-8＜a＜0時，l（a）=

-8+ 64+8a

2a

=

2

16+2a +4

＜

2

4

＜

1+ 5

2

．
所以a=-8時，l（a）取得最大值

1+ 5

2

．

點評：本題考利用類討論思想，求解二次函數的最大值，考查函數與方程的思想，分類討論思想的應用，難度較大．