Question

【題目】如圖，在棱臺ABC﹣FED中，△DEF與△ABC分別是棱長為1與2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四邊形BCDE為直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N為CE中點， ．
（Ⅰ）λ為何值時，MN∥平面ABC？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求直線AN與平面BMN所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當 ，即M為AF中點時MN∥平面ABC． 事實上，取CD中點P，連接PM，PN，
∵AM=MF，CP=PD，∴MP∥AC，
∵AC平面ABC，MP平面ABC，∴MP∥平面ABC．
由CP∥PD，CN∥NE，得NP∥DE，
又DE∥BC，∴NP∥BC，
∵BC平面ABC，NP平面ABC，∴NP∥平面ABC．
∴平面MNP∥平面ABC，則MN∥平面ABC；
（Ⅱ）取BC中點O，連OA，OE，
∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCDE，且AO平面ABC，∴AO⊥平面BCDE，
∵OC= ，BC∥ED，∴OE∥CD，
又CD⊥BC，∴OE⊥BC．
分別以OE，OC，OA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．
則A（0，0， ），C（0，1，0），E（1，0，0）， ，
∴F（1， ， ），M（ ， ， ），N（ ）．
設 為平面BMN的法向量，則
，取z=1，得 ．
cos＜ ＞= ．
∴直線AN與平面MNB所成角的正弦值為 ．

【解析】 （Ⅰ）取CD中點P，連接PM，PN，可得MP∥AC，則MP∥平面ABC．再由已知證明NP∥平面ABC．得到平面MNP∥平面ABC，則MN∥平面ABC；（Ⅱ）取BC中點O，連OA，OE，可證AO⊥BC，OE⊥BC．分別以OE，OC，OA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．求出所用點的坐標，得到平面BMN的法向量，求出＜ ＞的余弦值，即可得到直線AN與平面MNB所成角的正弦值．