Question

正四面體的四個頂點都在一個球面上，且正四面體的高為4，則球的表面積為（　　）

A．16(12-6 3 )π

B．18π

C．36π

D．64(6-4 2 )π

Answer 1

如圖所示：設正四面體的棱長等于a，球的半徑等于r，作AH垂直于平面BCD，H為垂足．
則BH=

2

3

•BD=

2

3

•

3

2

a=

3

3

a，故AH=

AB2-BH2

=

a2-( 3 a 3 )2

=

6

3

a．
再由AH=4，可得

6

3

a=4，∴a=

12

6

．
Rt△BOH中，由勾股定理可得 r2=(4-r)2+(

3

3

a)2，解得r=3．
故球的表面積為4πr²=36π，
故選C．