Question

已知關于x的函數y=

(1-t)x-t2

x

（t∈R）的定義域為D，存在區間[a，b]⊆D，f（x）的值域也是[a，b]．當t變化時，b-a的最大值=

2 3

3

．

Answer 1

分析：由函數的單調性可得a=f（a），且b=f（b），故a、b是方程x²+（t-1）x+t²=0的兩個同號的實數根．
由判別式大于0，容易求得t∈（-1，

1

3

）．由韋達定理可得b-a=

(t-1)2-4t2

=

-3t2-2t+1

，
利用二次函數的性質求得b-a的最大值．

解答：解：關于x的函數y=

(1-t)x-t2

x

=（1-t）-

t2

x

 的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
且函數在（-∞，0）、（0，+∞）上都是增函數．
故有a=f（a），且b=f（b），即

(1-t)a+t2

a

=a，

(1-t)b+t2

b

=b．
即 a²+（t-1）a+t²=0，且 b²+（t-1）b+t²=0，
故a、b是方程x²+（t-1）x+t²=0的兩個同號的實數根．
由判別式大于0，容易求得t∈（-1，

1

3

）．
由韋達定理可得b-a=

(t-1)2-4t2

=

-3t2-2t+1

，故當t=-

1

3

時，b-a取得最大值為

2 3

3

，
故答案為

2 3

3

．

點評：本題主要考查求函數的定義域，以及二次函數的性質，求函數的最值，屬于中檔題．