Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．

（1）證明：BE∥平面ADP；
（2）求直線BE與平面PDB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，取PD中點M，連接EM，AM．

∵E，M分別為PC，PD的中點，∴EM∥DC，且EM= DC，

又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，

∴四邊形ABEM為平行四邊形，∴BE∥AM．

∵AM平面PAD，BE平面PAD，

∴BE∥平面ADP．

（2）解：連接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，

而EM∥CD，∴PD⊥EM．

又∵AD=AP，M為PD的中點，∴PD⊥AM，

∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，

∴平面BEM⊥平面PBD．

∴直線BE在平面PBD內的射影為直線BM，

∵BE⊥EM，∴∠EBM為銳角，

∴∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角．

依題意，有PD=2 ，而M為PD中點，

∴AM= ，進而BE= ．

∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM= = = ．

∴直線BE與平面PDB所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）取PD中點M，連接EM，AM，推導出四邊形ABEM為平行四邊形，由此能證明BE∥平面ADP．（2）連接BM，推導出PD⊥EM，PD⊥AM，從而直線BE在平面PBD內的射影為直線BM，∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角，由此能求出直線BE與平面PDB所成角的正弦值．