Question

如圖已知點P在圓柱OO₁的底面圓周上，AB為圓O的直徑，
（1）求證：BP⊥A₁P；
（2）若圓柱的體積為12π，OA=2，∠AOP=120°，求異面直線A₁B與AP所成角大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓柱的幾何特征及圓周角定理，我們易根據已知中點P在圓柱OO₁的底面圓周上，AB為圓O的直徑，得到AP⊥BP，AA₁⊥BP，結合線面垂直的判定定理得到BP⊥平面PAA₁后，易進一步得到BP⊥A₁P；
（2）延長PO交圓O于點Q，連接BQ，A₁Q，結合圓柱的體積為12π，OA=2，∠AOP=120°，我們易得∠A₁BQ即為異面直線A₁B與AP所成角，利用余弦定理求出其余弦值，即可得到答案．
解答：解：（1）證明：易知AP⊥BP，又由AA₁⊥平面PAB，得AA₁⊥BP，（2分）
從而BP⊥平面PAA₁，故BP⊥A₁P；（5分）
（2）解：延長PO交圓O于點Q，連接BQ，A₁Q，則BQ∥AP，得∠A₁BQ或它的補角為異面直線A₁B與AP所成的角．（7分）
由題意V=π•OA²•AA₁=4π•AA₁=12π，解得AA₁=3．（8分）
又，AQ=2，得，A₁B=5，（11分）
由余弦定理得，（13分）
得異面直線A₁B與AP所成的角為．（14分）
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質及異面直線及其所成的角，其中熟練掌握圓柱的幾何特征，并從中分析出相關直線之間的位置關系是解答本題的關鍵．