Question

（2010•湖北模擬）定理：若函數f（x）在閉區間[m，n]上是連續的單調函數，且f（m）f（n）＜0，則存在唯一一個x₀∈（m，n）使f（x₀）=0．已知f(x)=sinx(0≤x≤

π

2

)．
（1）若g(x)=f(cosx)-ax(0≤x≤

π

2

)是減函數，求a的取值范圍．
（2）是否存在c，d∈(0，

π

2

)使f(cosc)=c和cos[f(d)]=d同時成立，若存在，指出c、d之間的等式關系，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）對函數g（x）求導可達g'（x）=cos（cosx）•（-sinx）-a，依題意由g（x）在[0，

π

2

]單調遞減可得g′(x)≤0在[0，

π

2

]上恒成立即a≥-cos（cosx）sinx，可求a的取值范圍
（2）由（1）知：當a=1時，g(x)=f(cosx)-x在[0，

π

2

]上是減函數且g(0)=sin1＞0，g(

π

2

)=-

π

2

＜0，根據零點判定定理可得存在唯一c∈(0，

π

2

)使g(c)=0即f(cosc)=C，同理知存在d∈(0，

π

2

)使F(d)=0即cosf（d）=d成立，從而可證

解答：解：（1）∵g（x）=sin（cosx）-ax∴g'（x）=cos（cosx）•（-sinx）-a
依題意cos(cosx)(-sinx)-a≤0對x∈[0，

π

2

]恒成立
即a≥-cos（cosx）sinx
顯然-cos（cosx）sinx≤0∴a≥0，故a的取值范圍是a≥0…（6分）
（2）由（1）知：當a=1時，g(x)=f(cosx)-x在[0，

π

2

]上是減函數
且g(0)=sin1＞0，g(

π

2

)=-

π

2

＜0
∴存在唯一c∈(0，

π

2

)使g(c)=0即f(cosc)=C…（8分）
同理由F(x)=cosf(x)-x在[0，

π

2

]上是減函數
且F(0)=1＞0，F(

π

2

)=cos1-

π

2

＜0
知存在d∈(0，

π

2

)使F(d)=0
即cosf（d）=d成立…（10分）
由cosf（d）=d得f[cos（f（d））]=f（d）
及f（cosc）=c的唯一性知c=f（d），即c=sind
綜上可知，存在c，d使f（cosc）=c和cos[f（d）]=d同時成立，且c=sind…（13分）

點評：解決本題的靈魂在于“轉化”，先將單調性問題轉化為恒成立問題，另外還要具備綜合應用所學知識解決問題的能力．