Question

如圖，已知四棱錐V-ABCD，底面ABCD是平行四邊形，點V在平面ABCD上的射影E在AD邊上，且AE=

1

3

ED，VE=4，BE=EC=2，∠BEC=90°．
（Ⅰ）設F是BC的中點，求異面直線EF與VC所成角的余弦值；
（Ⅱ）設點P在棱VC上，且DP⊥EC．求

VP

PC

的值．

Answer 1

分析：（I）過C作CM∥FE交AD與M，連接VM，則∠VCM為異面直線EF與VC所成角，在△VCD中求CM、VC、VM的值，利用余弦定理可求異面直線所成角的余弦值；
（II）過P作PN⊥EC，交EC于N，連接DN，利用三垂線逆定理可證DN⊥EC，利用∠BCE=∠DEC=45°，求出EN、NC，利用

VP

PC

=

EN

NC

求解．

解答：解：（Ⅰ）在平面ABCD內，過C作CM∥FE交AD與M，連接VM，
則∠VCM或其補角即為異面直線EF與VC所成角．
∵BE=EC=2，∠BEC=90°，∴BC=2

2

又四邊形EFCM為平行四邊形，
∴CM=EF=

1

2

BC=

2

，
∵VE⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，
∴VE⊥CE，∴VC=

16+4

=2

5

，
∵EM=CF=

1

2

BC=

2

，
∴VM=

16+2

=3

2

，
由余弦定理得cos∠VCM=

10

10

，
故異面直線EF與VC所成角的余弦值為

10

10

．
（Ⅱ）過P作PN⊥EC，交EC于N，連接DN，
∵VE⊥平面ABCD，VE?平面VEC，
∴平面ABCD⊥平面VEC，
∴PN⊥平面ABCD，
∴DN為PD在平面ABCD內的射影
∵DP⊥EC，∴EC⊥DN．
∵∠BCE=∠DEC=45°，DE=

3

4

BC=

3 2

2

，
∴EN=DE×cos45°=

3 2

2

×

2

2

=

3

2

，NC=2-

3

2

=

1

2

，
又VE⊥平面ABCD，
故VE⊥EC，PN⊥EC，
∴PN∥VE，
故

VP

PC

=

EN

NC

=

3 2

1 2

=3．

點評：本題考查了異面直線所成的角及其求法，考查了三垂線定理的應用及線面垂直，面面垂直的性質，考查了學生的空間想象能力與推理論證能力，綜合性強．