Question

【題目】已知橢圓的一個焦點在直線上，且離心率.

（1）求該橢圓的方程；

（2）若與是該橢圓上不同的兩點，且線段的中點在直線上，試證： 軸上存在定點，對于所有滿足條件的與，恒有；

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）利用橢圓的性質、離心率計算公式及焦點即可得方程；

（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，與橢圓聯立得，設，由線段的中點在直線上，得，假設在軸上存在定點， ，進而得，即可求得，當直線的斜率不存在時，易得成立.

試題解析：

（1）∵橢圓的一個焦點在直線上，∴，

又，∴，

∴該橢圓的方程為.

（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

，

，

設，則， ，

∵弦的中點在直線上，∴ ，

∴ ，∴，

將代入得，

假設在軸上存在定點， ，

∴ ，

∴ ，即，

當直線的斜率不存在時，直線垂直于軸，此時顯然成立，綜上， 軸上存在定點.