Question

已知橢圓C的方程為，雙曲線D與橢圓有相同的焦點F₁，F₂，P為它們的一個交點，若=0，則雙曲線的離心率e為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：根據橢圓的定義得到：|PF₁|+|PF₂|=4…①，再由數量積滿足=0，得到：|PF₁|²+|PF₂|²=12…②．由①②聯解可得||PF₁|-|PF₂||=，得到雙曲線的實軸2a'=，最后根據離心率的定義可得所求雙曲線的離心率．
解答：∵橢圓C的方程為，
∴a²=4，b²=1，可得c²=a²-b²=3，所以a=2，c=
因此，橢圓的長軸2a=4，焦距為2c=2
∵點P在橢圓上，滿足=0，
∴|PF₁|+|PF₂|=4，…①
且PF₁⊥PF₂，可得|PF₁|²+|PF₂|²=4c²=12，…②
①②聯解，得||PF₁|-|PF₂||=
∵點P在雙曲線上，
∴雙曲線的實軸2a'=，
∵雙曲線與橢圓有共同的焦點，
∴雙曲線的焦距為2c=2，故雙曲線的離心率e==
故選B
點評：本題給出雙曲線與已知橢圓共焦點，求雙曲線的離心率，著重考查了橢圓、雙曲線的基本概念和平面向量數量積的運算等知識，屬于基礎題．