Question

．在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，沿對角線AC把矩形折成二面角D-AC-B，并且D點在平面ABC內的射影落在AB上．若在四面體D-ABC內有一球，當球的體積最大時，球的半徑是          .

Answer 1

 當球的體積最大時，球與三棱錐D -ABC 的各面相切，設球隊半徑為R ，則VD -ABC =" VO" -ABC +VO -DAC + VO -DBA + VO -DAB = R(S△ABC + S△DAC + S△DBC + S△DAB).由題設易知AD⊥平面DBC, 又∵BD平面DBC，∴AD⊥BD，∴△ABD為直角三角形，∵AB = 4，AD = 3，∴BD = ，∴S△ABC = AD·BD = ×3×= .在△DAB和△DBC中，∵AD = BC，AB = DC，DB = DB，∴△DAB≌△BCD，故S△DBC = ，VD -ABC =" VA" –DBC = ×3×= ，∴S△ABC = S△ADC = 6，∴R(6 + 6 ++ )，于是( 4 + )R = ， 解得R =