Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線y=x²-2x-3與兩條坐標軸的三個交點都在圓C上．若圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點，
（1）求圓C的方程；
（2）若|AB|=2

3

，求a的值；
（3）若 OA⊥OB，（O為原點），求a的值．

Answer 1

分析：（1）曲線y=x²-2x-3與y軸的交點為（0，3），與x軸的交點為（-1，0），（3，0），設圓C的圓心為（1，t），解得t=-1．由此能求出圓C的方程．
（2）由|AB|=2

3

，知圓心C到直線x-y+a=0的距離為

2

，由點到直線的距離公式能求出a的值．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x-y+a=0 (x-1)2+(y+1)2=5

，得2x²+2ax+a²+2a-3=0．由OA⊥OB，能求出a的值．

解答：解：（1）曲線y=x²-2x-3與y軸的交點為（0，3），
與x軸的交點為（-1，0），（3，0），
設圓C的圓心為（1，t），
則有1²+（t+3）²=（1+1）²+t²，解得t=-1．
則圓C的半徑為

22+12

=

5

，
∴圓C的方程為（x-1）²+（y+1）²=5．
（2）∵|AB|=2

3

，
∴圓心C到直線x-y+a=0的距離為

2

，
∴

|1-(-1)+a|

12+(-1)2

=

2

，解得a=0，或a=-4．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足方程組

x-y+a=0 (x-1)2+(y+1)2=5

，
消去y，得2x²+2ax+a²+2a-3=0．
∵圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點，
∴△=24-16a-4a²＞0，
∴x₁+x₂=-a，x₁x₂=

a2+2a-3

2

．①
由于OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，
∴2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0．②
由①②，得a=1，或a=-3．滿足△＞0，
故a=1，或a=-3．

點評：本題考查圓的方程的求法，考查滿足條件的a的值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意點到直線的距離公式、韋達定理、根的判別式、向量等知識點的合理運用．