Question

已知函數f(x)=x+

m

x

，且此函數圖象過點（1，5）
（1）求實數m的值并判斷f（x）的奇偶性；
（2）若函數f（x）在（0，2）上單調遞減，解關于實數x的不等式f(

2-2x

)＜5．

Answer 1

分析：（1）函數f(x)=x+

m

x

，且此函數圖象過點（1，5），代入求得m的值，根據函數的奇偶性，驗證f（-x）與f（x）的關系從而進行判斷；
（2）根據函數的奇偶性可得f（1）=5，函數f（x）在（0，2）上單調遞減，實數x的不等式f(

2-2x

)＜5=f（1），根據函數的單調性，列出不等式，從而進行求解；

解答：解：（1）由題知分母不為0，
∵函數f(x)=x+

m

x

，且此函數圖象過點（1，5）
∴1+m=5，解得m=4，
∴f（x）的定義域為{x|x≠0}，
f(-x)=-x+

4

-x

=-(x+

4

x

)=-f(x)，
∴f（x）為奇函數--------（5分）
（2）∵f（x）在（0，2）上單調遞減，且f（1）=5，
∴f(

2-2x

)＜5=f(1)，
∴

2-2x ＞1 0＜ 2-2x ＜2

，
∴

2-2x＞1 0＜2-2x＜4

即

x＜0 x＜1

∴x＜0，
不等式的解集為：{x|x＜0}；

點評：此題主要考查函數的奇偶性的性質及其應用，以及不等式的解法，解題的過程中用到了函數的單調性，是一道基礎題；