Question

【題目】如圖，已知，，是橢圓的三個頂點，橢圓的離心率，點到直線的距離是.設是橢圓上位于軸左邊上的任意一點，直線，分別交直線于，兩點，以為直徑的圓記為.

（1）求橢圓的方程；

（2）求證：圓始終與圓：相切，并求出所有圓的方程.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見詳解；或.

【解析】

（1）寫出直線方程，利用點到直線距離公式，求得方程，結合離心率得到的方程，求得即可得到橢圓方程；

（2）根據三點分別共線，可得的坐標，從而求得圓的圓心和半徑，根據兩圓的位置關系，即可容易證明和求解.

（1）因為橢圓的離心率為，故可得；

又容易知方程為，又點坐標為

故可得，結合，

解得，

故可得橢圓方程為.

（2）不妨設點坐標為，

因為，

由三點共線可知：，解得；

同理由三點共線可得.

故可得點的坐標為，圓的半徑；

又因為圓的圓心為，半徑為，

故可得兩圓圓心距

因為點滿足橢圓方程，故可得，代入上式得：

，

故當時，可得

整理得，

當，即或時，

此時圓內切.即證.

此時滿足題意的圓為或.