Question

【題目】在某學(xué)校組織的一次籃球總投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分，如果前兩次得分之和超過(guò)3分即停止投籃，否則投第3次．某同學(xué)在A處的命中率q1為0.25，在B處的命中率為q2 ． 該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用ξ表示該同學(xué)投籃的訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為

ξ	0	2	3	4	5
P	0.03	P1	P2	P3	P4

（1）求q2的值；
（2）求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ；
（3）試比較該同學(xué)選擇在B處投籃得分超過(guò)3分與選擇上述方式投籃得分超過(guò)3分的概率的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題設(shè)知，“ξ=0”對(duì)應(yīng)的事件為“在三次投籃中沒(méi)有一次投中”，

由對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件性質(zhì)，

知p（ξ=0）=（1﹣q1）（1﹣q2）2=0.03，

∵q1=0.25，

∴解得q2=0.8

（2）解：根據(jù)題意p1=p（ξ=2）=（1﹣q1） （1﹣q2）q2=0.75×2×0.2×0.8=0.24，

p2=p（ξ=3）= =0.25×（1﹣0.8）2=0.01，

p3=p（ξ=4）=（1﹣q1） =0.75×0.82=0.48，

p4=p（ξ=5）=q1q2+q1（1﹣q2）q2=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24，

因此Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63

（3）解：用C表示事件“該同學(xué)選擇第一次在A處投，以后都在B處投，得分超過(guò)3分”，

用D表示事件“該同學(xué)選擇都在B處投，得分超過(guò)3分”，

則P（C）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=P3+P4=0.48+0.24=0.72，

P（D）= =0.82+2×0.8×0.2×0.8=0.896，

故P（D）＞P（C）．

即該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分的概率大于該同學(xué)選擇第一次在A處投以后都在B處投得分超過(guò)3分的概率

【解析】（1）由題設(shè)知，“ξ=0”對(duì)應(yīng)的事件為“在三次投籃中沒(méi)有一次投中”，由對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件性質(zhì)，能求出q2 ． （2）分別求出p1=p（ξ=2），p2=p（ξ=3），p3=p（ξ=4），p4=p（ξ=5），由此能求出Eξ．（3）用C表示事件“該同學(xué)選擇第一次在A處投，以后都在B處投，得分超過(guò)3分”，用D表示事件“該同學(xué)選擇都在B處投，得分超過(guò)3分”，則P（C）=P（ξ=4）+P（ξ=5），P（D）= ，由此能求出結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用離散型隨機(jī)變量及其分布列，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列即可以解答此題．