Question

已知數列{a_n}滿足2a_n+1=a_n+a_n+2（n=1，2，3，…），它的前n項和為S_n，且a₃=5，S₆=36．
（1）求a_n；
（2）已知等比數列{b_n}滿足b₁+b₂=1+a，b₄+b₅=a³+a⁴（a≠-1），設數列{a_n•b_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由2a_n+1=a_n+a_n+2判斷出數列{a_n}是等差數列，將a₃=5，S₆=36用基本量表示得到關于首項、公差的方程組，求出首項、公差，利用等差數列的通項公式求出a_n；
（2）將b₁+b₂=1+a，b₄+b₅=a³+a⁴兩個式子作商求出公比，利用等比數列的通項公式求出通項，由于a_nb_n=（2n-1）a^n-1．所以利用錯位相減的方法求出數列{a_n•b_n}的前n項和為T_n．

解答：解：（1）由2a_n+1=a_n+a_n+2得a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
則數列{a_n}是等差數列．                 …（2分）
∴

a1+2d=5 6a1+15d=36.

⇒

a1=1 d=2.

因此，a_n=2n-1．                    …（5分）
（2）設等比數列{b_n}的公比為q，
∵q3=

b4+b5

b1+b2

=

a3+a4

1+a

=a3，
∴q=a．
由b₁+b₂=1+a，得b₁（1+a）=1+a．
∵a≠-1，
∴b₁=1．
則b_n=b₁q^n-1=a^n-1，a_nb_n=（2n-1）a^n-1．   …（7分）
T_n=1+3a+5a²+7a³+…+（2n-1）a^n-1…①
當a≠1時，aT_n=a+3a²+5a³+7a⁴+…+（2n-1）aⁿ…②
由①-②得（1-a）T_n=1+2a+2a²+2a³+…+2a^n-1-（2n-1）aⁿ
=

2(1-an)

1-a

-1-(2n-1)an，
Tn=

2(1-an)

(1-a)2

-

1+(2n-1)an

1-a

．       …（10分）
當a=1時，T_n=n²．                 …（12分）

點評：求睡了的前n項和問題，應該先求出數列的通項，然后選擇合適的求和方法進行計算．注意若等比數列的公比是字母，要分類討論．