Question

△OAB中，|

AB

|=10
（1）點C為直線AB上一點，且

AC

=t

AB

，(t∈R)，試用

OA

、

OB

表示

OC

．
（2）點C₁、C₂，…，C₉依次為線段AB的10等分點，且

OC1

+

OC2

+…+

OC9

=λ(

OA

+

OB

)，求實數λ的值．
（3）條件同（2），又點P為線段AB上一個動點，定義關于點P的函數f(P)=|

OP

-

OC1

|+2|

OP

-

OC2

|+3|

OP

-

OC3

|+…+9|

OP

-

OC9

|+10|

OP

-

OB

|，求f（P）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據向量減法的三角形法則，可得

AB

=

OB

-

OA

，再由

AC

=t

AB

，

OC

=

OA

+

AC

可得答案；
（2）根據向量定比分點公式，當C將AB分為長度比為a：b的兩段時，

OC

=

b

a+b

OA

+

a

a+b

OB

，逐一求出各分點對應的向量累加可得答案．
（3）設

AP

=x

AC1

，則f(P)=|

OP

-

OC1

|+2|

OP

-

OC2

|+3|

OP

-

OC3

|+…+9|

OP

-

OC9

|+10|

OP

-

OB

|=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+…+9|x-9|+10|x-10|利用零點分段法化簡函數的解析式，并結合一次函數的圖象和性質分析函數的單調性，可得函數的最小值．

解答：解：（1）在△OAB中

AB

=

OB

-

OA

∴

AC

=t

AB

=t

OB

-t

OA

∴

OC

=

OA

+

AC

=t

OB

+（1-t）

OA

（2）∵C₁、C₂，…，C₉依次為線段AB的10等分點，
∴

OC1

=

9

10

OA

+

1

10

OB

；

OC2

=

8

10

OA

+

2

10

OB

；
…

OCn

=

10-n

10

OA

+

n

10

OB

；
…

OC9

=

1

10

OA

+

9

10

OB

；
∴

OC1

+

OC2

+…+

OC9

=（

1

10

+

2

10

+…+

9

10

）(

OA

+

OB

)=

9

2

(

OA

+

OB

)
故λ=

9

2

（3）設

AP

=x

AC1

，則
f(P)=|

OP

-

OC1

|+2|

OP

-

OC2

|+3|

OP

-

OC3

|+…+9|

OP

-

OC9

|+10|

OP

-

OB

|，
=|

C1P

|+2|

C2P

|+3|

C3P

|+…+9|

C3P

|+10|

BP

|
=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+…+9|x-9|+10|x-10|
當x∈[k，k+1]時，k∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
f（x）=（x-1）+2（x-2）+…+k（x-k）+k（k+1-x）…+10（10-x）
=x+2x+…+kx-（k+1）x-（k+2）x-…-10x-1²-2²-…-k²+（k+1）²+（k+2）²+…+10²
=（k²+k-55）x-[1²+2²+…+k²-（k+1）²-（k+2）²-…-10²]
當k∈{0，1，2，3，4，5，6}時，k²+k-55＜0，函數為減函數
當k∈{7，8，9}時，k²+k-55＞0，函數為增函數
故當k=7時，f（P）取最小值f（7）=1×6+2×5+3×4+4×3+5×2+6×1+7×0+8×1+9×2+10×3=112

點評：本題考查的知識點是平面向量加法和減法的三角形法則，向量定比分點公式，含絕對值符號的函數，是平面向量的綜合應用，難度較大，屬于難題．