Question

【題目】已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓：上，線段的中垂線為直線，直線交直線于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若點(diǎn)在第二象限，且相應(yīng)的直線與曲線和拋物線：都相切，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）首先看動(dòng)點(diǎn)有什么性質(zhì)？由中垂線得，從而，是常數(shù)，因此點(diǎn)軌跡是橢圓，且是焦點(diǎn)，因此易得的方程；（2）直線是橢圓和拋物線的公切線，因此設(shè)方程為，由它與橢圓相切（代入橢圓方程，判別式為0）可得一個(gè)等式，同樣由它與拋物線相切又可得一個(gè)等式，聯(lián)立后可解得，注意在第二象限，可得唯一解，再關(guān)于直線對(duì)稱可求得點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）圓的圓心為，半徑，連結(jié)，

∵在的中垂線上，∴，

∴

∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，

∴，；，；，

∴曲線的方程為.

（2）∵直線與橢圓和拋物線都相切，∴直線斜率一定存在，設(shè)： ①，

①代入，得，

由，得 ②.

有把①代入，得，

由，得 ③.

由② ③解得

設(shè)，∵在第二象限，∴，

注意與關(guān)于直線對(duì)稱，，∴，∴，∴：，

則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)在圓上，故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.