Question

（本小題滿分12分）

如圖橢圓的右頂點是，上下兩個頂點分別為，四邊形是矩形（為原點），點分別為線段的中點．

（Ⅰ）證明：直線與直線的交點在橢圓上；

（Ⅱ）若過點的直線交橢圓于兩點，為關于軸的對稱點（不共線），

問：直線是否經過軸上一定點，如果是，求這個定點的坐標，如果不是，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）直線經過軸上的點

【解析】（1）易求A、B、D、E、M的坐標，然后求出DE、BM的方程，兩直線方程聯立解方程組可求出其交點.再驗證交點坐標滿足橢圓方程，從而證明交點在橢圓上.

（2）先設出RS的方程，與橢圓方程聯立，消y后得關于x的一元二次方程，設出交點R、S的坐標，表示出SK的方程，令y=0得到它與x軸的交點的模坐標，然后再借助直線RS的方程和韋達定理，證明x的值是常數即可.

解：（1）由題意，得，

所以直線的方程，直線的方程為，------2分

由，得，

所以直線與直線的交點坐標為，---------------4分

因為，所以點在橢圓上．---------6分

（2）設的方程為，代入，

得，

設，則，

 ，

直線的方程為，

令得，

將，代入上式得，設，

所以直線經過軸上的點．---------12分