Question

已知函數f（x）=2cos²x+sinx
（Ⅰ）若函數f（x）的定義為R，求函數f（x）的值域；
（Ⅱ）函數f（x）在區間[0，

π

2

]上是不是單調函數？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（x）=2cos²x+sinx=-2(sinx-

1

4

)2+

17

8

及-1≤sinx≤1，即可求得函數f（x）的值域；
（Ⅱ）（證法一）：f′（x）=-4cosxsinx+cosx=cosx（1-4sinx），設α=arcsin

1

4

，易證當x∈（0，α）時，f′（x）＞0，當x∈（α，

π

2

）時，f′（x）＜0，從而知f（x）在區間[0，

π

2

]上不是單調函數；
（證法二：利用f（0）=f（

π

6

）=2，且[0，

π

6

]?[0，

π

2

]，即可判定f（x）在區間[0，

π

2

]上不是單調函數．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-2sin²x+sinx+2=-2(sinx-

1

4

)2+

17

8

，
∴當sinx=-1時，f（x）取得最小值-1，
當sinx=

1

4

時，f（x）取得最大值

17

8

，
∴函數f（x）的值域為[-1，

17

8

]；
（Ⅱ）f（x）在區間[0，

π

2

]上不是單調函數；
（證法一）：∵f′（x）=-4cosxsinx+cosx=cosx（1-4sinx），
設α=arcsin

1

4

，可知：當x∈（0，α）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在區間（0，arcsin

1

4

）上單調遞增；
當x∈（α，

π

2

）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在區間（α，

π

2

）上單調遞減．
∴f（x）在區間[0，

π

2

]上不是單調函數．
（證法二：∵f（0）=f（

π

6

）=2，且[0，

π

6

]?[0，

π

2

]，
∴f（x）在區間[0，

π

2

]上不是單調函數．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，考查三角函數的最值，突出考查三角函數單調性的判斷，考查創新思維與論證能力，屬于中檔題．