Question

在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，已知點P是△ABC內一點，則

PC

•(

PA

+

PB

)的最小值是（　　）

A．-2

B．-1

C．0

D．1

Answer 1

分析：分別以CB，CA所在的直線為x，y軸建立直角坐標系，然后利用向量的數量積的坐標表示求解

PC

•(

PA

+

PB

)，根據兩點間的距離公式即可求解

解答：解：分別以CB，CA所在的直線為x，y軸建立直角坐標系
∵AC=BC=2
∴A（0，2），C（0，0），B（2，0）
設P（x，y），則

PA

=(-x，2-y)，

PB

=(2-x，-y)），

PC

=(-x，-y)
∴

PA

+

PB

=(2-2x，2-2y)
∴

PC

•(

PA

+

PB

)=-x（2-2x）-y（2-2y）
=-2x+2x²-2y+2y²
=2(x-

1

2

)2+2(y-

1

2

)2-1
即(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2為△ABC內一點到點（

1

2

，

1

2

）距離平方，當其最小時向量

PC

•(

PA

+

PB

)最小，
因為點（

1

2

，

1

2

）也在△ABC內，
所以(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2最小為0，所以向量

PC

•(

PA

+

PB

)的最小值為-1
故選B

點評：本題主要考查了向量的數量積的坐標表示的應用，解題的關鍵是根據所求式子 幾何意義．