Question

已知等差數列{a_n}滿足a₃=5，a₅-2a₂=3，又數列{b_n}中，b₁=3且
（I）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（II）若數列{a_n}，{b_n}的前n項和分別是S_n，T_n，且．求數列{c_n}的前n項和M_n；
（Ⅲ）若M_n對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，則由題設得：，由此能求出數列{a_n}的通項公式；由3b_n-b_n+1=0，知，由此能求出數列{b_n}的通項公式．
（II）由（I）可得，．，由此利用錯位相減法能求出M_n=，由此能求出若M_n對一切正整數n恒成立，實數m的取值范圍．
解答：解：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，
則由題設得：
即，
解得，
∴．
∵3b_n-b_n+1=0∴，
∴數列{b_n}是以b₁=3為首項，公比為3的等比數列．
∴．
（II）由（I）可得，
．
∴．
∴M_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n-1+c_n

（1）-（2）得：=，
∴M_n=．…（3）
M_n+1-M_n=
=9（n+1）×3ⁿ＞0，
∴當n=1時，∴M_n取最小值，M₁=9，
∴9即
當m＞1時，恒成立；
當0＜m＜1時，由=log_mm，得，
∴．
∴實數m的取值范圍是．
點評：本小題主要考查數列通項、錯位求和與不等式等知識，考查化歸、轉化、方程的數學思想方法，以及運算求解能力．
（刪除第二個II）