Question

已知等差數列{a_n}前n項和為S_n，且滿足a₂+a₅=22．S₁₀=190．
（1）求通項a_n
（2）若數列{b_n}是等差數列，且b_n=

Sn

n+c

，求非零常數c；
（3）對（2）中的數列{b_n}，若其前n項和為T_n，求證2T_n-3b_n-1＞

64bn

(n+9)bn+1

．

Answer 1

分析：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，依題意，列出關于首項a₁與公差d的方程組，解之即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知，a₁=3，從而可求等差數列{a_n}的前n項和S_n=2n²-n，繼而可求得b₁=

1

1+c

，b₂=

6

2+c

，b₃=

15

3+c

，利用b₁、b₂、b₃成等差數列即可求得c的值；
（3）依題意，可求得T_n=n²+n，2T_n-3b_n-1=2（n-1）²+4≥4（n=1時取“=”）①，

64bn

(n+9)bn+1

=

64

n+ 9 n +10

≤4（當且僅當n=3時取“=”），②利用①②等號不可能同時取到即可使結論得證．

解答：解：（1）∵數列{a_n}為等差數列，公差為d，
∵a₂+a₅=22．S₁₀=190，
∴

2a1+5d=22 10a1+ 10×9 2 d=190

，解得

a1=1 d=4

，
∴a_n=4n-1．
（2）由（1）知，a₁=3，
∴S_n=

(3+4n-1)n

2

=2n²-n，
∴b_n=

Sn

n+c

=

2n2-n

n+c

，
∴b₁=

1

1+c

，b₂=

6

2+c

，b₃=

15

3+c

，
∵數列{b_n}是等差數列，
∴2b₂=b₁+b₃，即

12

2+c

=

1

1+c

+

15

3+c

，整理得2c²+c=0，
∵c為非0常數，
∴c=-

1

2

．
（3）由（2）得，b_n=

Sn

n+c

=

2n2-n

n- 1 2

=2n，
∴T_n=2（1+2+3+…+n）=2×

(1+n)n

2

=n²+n，
∴2T_n-3b_n-1=2（n²+n）-3（2n-2）=2（n-1）²+4≥4，n=1時取“=”；①

64bn

(n+9)bn+1

=

64×2n

(n+9)×2(n+1)

=

64n

n2+10n+9

=

64

n+ 9 n +10

≤4（當且僅當n=3時取“=”），②
顯然，①②中的等號不可能同時取到，
∴2T_n-3b_n-1＞

64bn

(n+9)bn+1

．

點評：本題考查數列與不等式的綜合，著重考查等差數列的通項公式與求和公式的應用，考查方程思想與化歸思想與基本不等式不等式的綜合應用，屬于難題．