Question

已知函數在處取得極值.
（1）討論和是函數的極大值還是極小值；
（2）過點作曲線的切線，求此切線方程.

Answer 1

（1）?（-1）=2是極大值，?（1）=-2是極小值
（2）切點坐標為M（-2，-2）,切線方程為9x-y+16=0

第一問由函數在處取得極值.
說明了?′（1）= ?′（-1）=0，得到a,b的值，并代入原式中，判定函數的單調性，得到極值問題。
第二問中，要求過點作曲線的切線，先設出切點坐標，然后結合導數的幾何意義得到斜率，表示切線方程，再將A點代入方程中得到點的坐標，求解得到。
解:（1）?′(x)=3ax²+2bx-3，依題意，?′（1）= ?′（-1）=0，即
3a+2b-3=0，
3a-2b-3=0.解得a=1，  b="0."
∴?（x）=x³-3x，?′(x)=3x²-3=3（x+1）（x-1）.
令?′(x)=0，得x₁=-1，x₂=1.
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），則?′(x)>0,故?（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是增函數.
若x∈（-1,1），則?′(x)<0,故?（x）在（-1,1）上是減函數.
所以?（-1）=2是極大值，?（1）=-2是極小值.
（1）曲線方程為y=x³-3x,點A（0,16）不在曲線上，設切點為M（x₀,y₀）
則點M的坐標滿足y₀= x₀³-3x₀，
因為f’(x₀)=3(x₀²-1),故切線方程為
y-y₀=3(x₀²-1)(x-x₉)
因為點A在曲線上，則可知16-（x₀³-3x₀）=3(x₀²-1)(x-x₉)
化簡得到x₀=-2，
所以切點坐標為M（-2，-2）,切線方程為9x-y+16=0