Question

如圖，在橢圓C中，點F₁是左焦點，A（a，0），B（0，b）分別為右頂點和上頂點，點O為橢圓的中心．又點P在橢圓上，且滿足條件：OP∥AB，點H是點P在x軸上的射影．
（1）求證：當a取定值時，點H必為定點；
（2）如果點H落在左頂點與左焦點之間，試求橢圓離心率的取值范圍；
（3）如果以OP為直徑的圓與直線AB相切，且凸四邊形ABPH的面積等于3+

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由kAB=-

b

a

，OP∥AB，得lop：y=-

b

a

x，代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得x2=

a2

2

，由此能夠證明當a取定值時，點H必為定點．
（2）由點H落在左頂點與左焦點之間，知只有H(-

2

2

a，0)，且-a＜-

2

2

a＜-c，由此能求出橢圓離心率的取值范圍．
（3）以OP為直徑的圓與直線AB相切等價于點O到直線AB的距離等于

1

2

|OP|．由條件設直線AB：

x

a

+

y

b

=1，點O到直線AB的距離d=

ab

a2+b2

，又|OP|=

2a2+2b2

2

，所以

ab

a2+b2

=

2a2+2b2

4

，再由SABPH=SABO+SOBPH=

1

2

ab+

1

2

(

2

2

b+b)

2

2

a=

3+ 2

4

ab=3+

2

，
能夠得到所求橢圓方程．

解答：解：（1）由kAB=-

b

a

，OP∥AB，得lop：y=-

b

a

x，
代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得x2=

a2

2

，
∴P(-

2

2

a，

2

2

b)或P(

2

2

a，-

2

2

b)，
∵PH⊥x軸，∴H(-

2

2

a，0)或H(

2

2

a，0)，
∵a為定值，∴H為定點；（4分）
（2）∵點H落在左頂點與左焦點之間，
∴只有H(-

2

2

a，0)，且-a＜-

2

2

a＜-c，
可解得0＜e＜

2

2

；（4分）
（3）以OP為直徑的圓與直線AB相切等價于點O到直線AB的距離等于

1

2

|OP|．
由條件設直線AB：

x

a

+

y

b

=1，
則點O到直線AB的距離d=

ab

a2+b2

，又|OP|=

2a2+2b2

2

，
∴

ab

a2+b2

=

2a2+2b2

4

得a2+b2=2

2

ab①
又由SABPH=SABO+SOBPH=

1

2

ab+

1

2

(

2

2

b+b)

2

2

a=

3+ 2

4

ab=3+

2

，
得ab=4．②由①②解得a2=4(

2

+1)，b2=4(

2

-1)，
所以所求橢圓方程為：

x2

4( 2 +1)

+

y2

4( 2 -1)

=1．（6分）

點評：本題考查定點的證明、離心率取值范圍的確定和橢圓方程的求法，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．