Question

(本小題滿分12分)
已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，對稱軸為坐標軸，且經過點．
（I）求橢圓的方程；
（II）直線與橢圓相交于、兩點， 為原點，在、上分別存在異于點的點、，使得在以為直徑的圓外，求直線斜率的取值范圍．

Answer 1

（I）；（II）。

試題分析：（I）依題意，可設橢圓的方程為．
由 
∵ 橢圓經過點，則，解得
∴ 橢圓的方程為…………………
（II）聯立方程組，消去整理得………………
∵ 直線與橢圓有兩個交點，
∴ ，解得  ①…………………
∵ 原點在以為直徑的圓外，
∴為銳角，即．
而、分別在、上且異于點，即………………
設兩點坐標分別為，
則
解得  ，                  ②…………………
綜合①②可知：…………………
點評：（1）有關直線與橢圓的綜合應用，經常用到的步驟為：設點→聯立方程→消元→韋達定理。（2）在第二問中，合理轉化是解題的關鍵，即把“O在以MN為直徑的圓外”這個條件轉化為“”。