Question

（本小題滿分16分）已知在直角坐標系中，，其中數列都是遞增數列。
（1）若，判斷直線與是否平行；
（2）若數列都是正項等差數列，設四邊形的面積為．
求證：也是等差數列；
（3）若,，記直線的斜率為，數列前8項依次遞減，求滿足條件的數列的個數。

Answer 1

⑴由題意、、、．
∴，．…………………………………（2分）
，∴與不平行． ……………………………………（4分）
⑵、為等差數列，設它們的公差分別為和，則，
由題意．……………………………（6分）
∴
，……（8分）
∴，∴是與無關的常數，
∴數列是等差數列．……………………………………………………………（10分）
⑶

、，∴．
又數列前項依次遞減，
∴對成立，即對成立．………………（12分）
又數列是遞增數列，∴，只要時，即即可．
又，聯立不等式，作出可行域（如右圖所示），易得或．…………（14分）
當時，，即，有解；
當時，，即，有解．∴數列共有個．（16分）
另解：也可直接由得．又，則或．下同

解析