Question

設函數，其中a為常數．
（1）證明：對任意a∈R，y=f（x）的圖象恒過定點；
（2）當a=-1時，判斷函數y=f（x）是否存在極值？若存在，證明你的結論并求出所有極值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把f（x）代入到F（x）中化簡得到F（x）的解析式求出F（x）的最小值即可；
（2）把a=-1代入得f（x）的解析式，求出f′（x）=0時x=1，因為x大于0，所以在（0，1）和（1，+∞）上討論函數的增減性得到函數的極小值為f（1）．
解答：解：（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
所以y=f（x）的圖象恒過定點（1，1）；
（2）當a=-1時，，
x＞0=
經觀察得f′（x）=0有根x=1
令g（x）=x²+lnx-1，
當x＞0時，g′（x）＞0，即y=g（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數．
所以f′（x）=0有唯一根x=1．
當x∈（0，1）時，，f（x）在（0，1）上是減函數；
當x∈（1，+∞）時，，f（x）在（1，+∞）上是增函數．
所以x=1是f（x）的唯一極小值點．極小值是．
點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力．