Question

雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，過雙曲線右焦點且斜率為的直線交雙曲線于P、Q兩點．若OP⊥OQ，｜PQ｜＝4，求雙曲線的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：設所求的雙曲線方程為－＝1，過右焦點F(c，0)的直線方程為 　　y＝(x－c)(其中c2＝a2＋b2)． 　　由， 　　得　(5b2－3a2)x2｜6a2cx－3a2c2－5a2b2＝0． 　　設P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 　　則x1＋x2＝－， 　　　x1·x2＝， 　　　y1·y2＝(x1－c)(x2－c) 　　　　　 ＝［x1x2－c(x1＋x2)＋c2］ 　　　　　 ＝． 　　∵OP⊥OQ，故kOP·kOQ＝－1， 　　∴＝＝－1． 　　整理，得3a4＋8a2b2－3b4＝0， 　　亦即　(3a2－b2)(a2＋3b2)＝0． 　　∵a2＋3b2≠0，∴b2＝3a2．　　① 　　由①，可推出c＝2a， 　　設PQ的中點M的坐標為(x0，y0)， 　　由 　　得　b2(－)＝a2(－)， 　　∴·＝． 　　∵y1＋y2＝2y0，x1＋x2＝2x0， 　　　　kPQ＝，kOM＝， 　　∴·＝＝3，故y0＝x0．　　② 　　又M點在PQ上，故y0＝(x0－c)．　　③ 　　由②、③得x0＝－＝－，y0＝－a． 　　∵△OPQ是直角三角形，∴｜OM｜＝｜PQ｜＝2， 　　∴＋＝4，解得a2＝1．代入①，得b2＝3． 　　∴所求雙曲線的方程為x2－＝1． 　　分析：如何根據題設條件OP⊥OQ，｜PQ｜＝4，建立含a、b的方程組是解本題的關鍵．根據OP⊥OQ可得kOP·kOQ＝－1，導出a、b的一個關系式．對已知｜PQ｜＝4，可用弦長公式，也可利用Rt△OPQ斜邊上的中線等于斜邊的一半建立等量關系． 　　點評：解析幾何中直線垂直關系通常轉換為直線斜率的關系，直線被圓錐曲線截得線段長通常可用弦長公式建立等量關系．本題充分利用圖形幾何性質起到了簡化運算的作用．