Question

設?A、B?、C?分別為復數平面上代表1+i?、1+iZ，以及1-i的點．請問下列哪些選項所對應的點落在△OAB的內部？
（1）cos60°
（2）cos50°+isin50°
（3）

4-3i

5

（4）

1+ 3 i

2

（5）（cos30°+isin30°）²⁵．

Answer 1

分析：根據所給的三個復數的代數形式，寫出復數對應的點，得到以這三個點為頂點的三角形，把所給的五個條件進行驗證，從模長到幅角兩個方面來說明．

解答：解：可知

.

OA

與

.

OB

均與x軸夾45度角．
且

.

OA

=

.

OB

=

12+12

=

2

，

.

OC

=1
（1）cos60°=

1

2

+0i，故cos60°位于x軸上
距離原點

1

2

單位之處，所以cos60°位
于△ABC內部．
（2）cos50°+isin50°與原點距離為

cos250°+sin250°

=1，且與x軸夾50度角的點，
故此點在△ABC外部．（因為50°＞45°）
（3）

4

5

-

3

5

i在復數平面對應到點(

4

5

，-

3

5

)∵(

4

5

，-

4

5

)在

.

OB

上，
∴(

4

5

，-

3

5

)在△ABC內部．
（4）

1

2

+

3

2

i在復數平面對應到點(

1

2

，

3

2

)∵(

1

2

，

1

2

)在

.

OA

上，
∴(

1

2

，

3

2

)在外部．
（5）（cos30°+isin30°）²⁵=cos750°+isin750°=cos30°+isin30°，
此點與原點距離為

cos230°+sin230°

=1，且與x軸夾30度角的點，
故此點在△ABC內部．（因為30°＜45°）
答：（1）（3）（5）

點評：本題考查復數的幾何意義，考查復數的三角形式，本題是一個基礎題，題目中所給的五個點具有共同的特征，檢驗方式一樣．