Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）=x（x-a）（x-b）（a、b∈R）．
（1）若a≠b，ab≠0，過(guò)兩點(diǎn)（0，0）、（a，0）的中點(diǎn)作與x軸垂直的直線，與函數(shù)y=f（x）的圖象交于點(diǎn)P（x₀，f（x₀）），求證：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P處的切線過(guò)點(diǎn)（b，0）．
（2）若a=b（a≠0），且當(dāng)x∈[0，|a|+1]時(shí)f（x）＜2a²恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知，…（1分）y'=3x²-（2a+2b）x+ab，…（2分）
所求切線斜率為，…（3分）
切線方程為，
所以，函數(shù)y=f （x）過(guò)點(diǎn)P的切線過(guò)點(diǎn)（b，0）…（5分）
（2）因?yàn)閍=b，所以y=f（x）=x（x-a）²，
，…（6分）
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞增，在（，a）單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．
所以，根據(jù)題意有
即
解之得，結(jié)合a＞0，所以…（9分）
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增． …（10分）
所以，根據(jù)題意有f（1-a）＜2a²，…（11分）
即（1-a）（1-a-a）²＜2a²，整理得4a³-6a²+5a-1＞0，（*）
令g（a）=4a³-6a²+5a-1，∴
∴g（a）在區(qū)間（-∞，0）單調(diào)遞增，又g（0）=-1＜0，所以“*”不等式無(wú)解．…（13分）
綜上可知：． …（15分）
分析：（1）先求切線的斜率，進(jìn)而得切線方程，由此可得結(jié)論；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而借助于研究函數(shù)的最小值，解決恒成立問(wèn)題．注意分類討論．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問(wèn)題，注意運(yùn)用最值法解決恒成立問(wèn)題．