Question

設f（x）是定義在R上的增函數，令g（x）=f（x）-f（2010-x）
（1）求證g（x）+g（2010-x）時定值；
（2）判斷g（x）在R上的單調性，并證明；
（3）若g（x₁）+g（x₂）＞0，求證x₁+x₂＞2010．

Answer 1

解：（1）∵g（x）=f（x）-f（2010-x），
∴g（x）+g（2010-x）=f（x）-f（2010-x）+f（2010-x）-f（x）=0為定值．
（2）g（x）在R上的增函數，設x₁＜x₂，則2010-x₁＞2010-x₂，
∵f（x）是R上的增函數∴f（x₁）＜f（x₂），f（2010-x₁）＞f（2010-x₂）
故g（x₁）-g（x₂）=f（x₁）-f（2010-x₁）-f（x₂）+f（2010-x₂）=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2010-x₂）-f（2010-x₁）]＜0，
即g（x₁）＜g（x₂），∴g（x）在R上的增函數．
（3）假設x₁+x₂≤2010，則x₁≤2010-x₂ ，故g（x₁）≤g（2010-x₂），
又g（2010-x₂）=-g（x₂），
∴g（x₁）+g（x₂）≤0，這與已知g（x₁）+g（x₂）＞0矛盾，
∴x₁+x₂＞2010．
分析：（1）利用條件化簡g（x）+g（2010-x）=f（x）-f（2010-x）+f（2010-x）-f（x）=0，顯然為定值．
（2）f（x）在R上的增函數，設x₁＜x₂，化簡（x₁）-g（x₂）為[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2010-x₂）-f（2010-x₁）]，小于0，從而得到g（x）在R上的增函數．
（3）用反證法證明，假設x₁+x₂≤2010，利用g（x）在R上的增函數推出g（x₁）+g（x₂）≤0，這與已知g（x₁）+g（x₂）＞0矛盾，從而應有x₁+x₂＞2010．
點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，函數的單調性的應用，屬于中檔題．