Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁=t，點（S_n，a_n+1）在直線y=3x+1上，n∈N^*．
（Ⅰ）當實數t為何值時，數列{a_n}是等比數列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下，設b_n=log₄a_n+1，c_n=a_n+b_n，T_n是數列{c_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據點（S_n，a_n+1）在直線y=3x+1上，可得a_n+1=3S_n+1，再寫一式，兩式相減，結合a₁=t，即可求得t=1時，a₂=4a₁，數列{a_n}是等比數列；
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的結論下，求出an+1=4n，我們可以得到b_n=log₄a_n+1=n，cn=an+bn=4n-1+n，求和時利用分組求和，可以得到結論．

解答：解：（Ⅰ）∵點（S_n，a_n+1）在直線y=3x+1上
∴a_n+1=3S_n+1，①
a_n=3S_n-1+1，②（n＞1）…（2分）
①-②：a_n+1-a_n=3（S_n-S_n-1）=3a_n，
∴a_n+1=4a_n，n＞1…（4分）
∵a₂=3S₁+1=3a₁+1=3t+1，a₁=t，
∴3t+1=4t，∴t=1
∴當t=1時，a₂=4a₁，數列{a_n}是等比數列…（6分）
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的結論下，a_n+1=4a_n，
∴an+1=4n，…（8分）
∴b_n=log₄a_n+1=n，…（9分）cn=an+bn=4n-1+n，…（10分）
∴

Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)

=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)= 4n-1 3 + (1+n)n 2

…（12分）

點評：考查數列與函數的聯系，考查等比數列的定義，考查分組求和，求和時根據通項的特點選擇合適的方法是我們解決這類問題的關鍵所在．