Question

【題目】在四棱錐中，底面是直角梯形， ， ， ，平面平面．

（Ⅰ）求證： 平面．

（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大小．

（Ⅲ）在棱上是否存在點使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）為的中點，

【解析】試題分析：

（Ⅰ）證明AB⊥平面PBC，利用面面垂直的性質，根據AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，即可得證；

（Ⅱ）取BC的中點O，連接PO，證明PO⊥平面ABCD，以O為原點，OB所在的直線為x軸，在平面ABCD內過O垂直于BC的直線為y軸，OP所在的直線為z軸建立空間直角坐標系O-xyz，求出平面PAD的法向量．平面BCP的一個法向量，

利用向量的夾角公式，即可求得平面ADP和平面BCP所成的二面角；（Ⅲ）在棱PB上存在點M使得CM∥平面PAD，此時，證明平面MNC∥平面PAD，可得∥平面PAD．

試題解析：

（Ⅰ）∵，

∴，

∵面面，面面， 面，

∴面．

（Ⅱ）取的中點，連接，

∵，∴，

∵面面，面 ， 面，

∴面，以為原點， 所在的直線為軸，在平面內過且垂直于的直線為軸， 所在的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

不妨設，由，

∴， ， ．

∴， ．

設平面的法向量為，

∵，

∴，

令，則， ．

∴．

取平面的一個法向量，

∴．

∴面和面的二面角（銳角）的大小為．

（Ⅲ）在棱上存在一點使得面，此時．

理由如下： 為的中點，

取的中點，連接， ， ，

則， ，

∵，

∴，

∵，

∴四邊形是平行四邊形．

∴，

∵， ，

∴面面，

∵面，

∴面．