Question

現有甲、乙兩個盒子，甲盒中裝有4個白球和4個紅球，乙盒中裝有3個白球和若干個紅球，若從乙盒中任取兩個球，取到兩個白球的概率是

3

28

．
（1）求乙盒中紅球的個數；
（2）從甲盒中任取兩個球，在所取的球中有一個是白球的條件下，求另一個也是白球的概率；
（3）若從甲盒中任取兩個球，放入乙盒中后，再從乙盒中任意取出2個球放回到甲盒中，求甲盒中白球沒有增加的概率．

Answer 1

分析：（1）先設乙盒中紅球有x個，則乙盒中有（x+3）個球，分別計算從乙盒中任取兩個球與取到兩個白球的情況數目，進而可得取到的兩個白球的概率，即可得

3

C 2 x+3

=

3

28

，解可得答案；
（2）根據題意，分別計算“從甲盒中任取兩個球，都是白球”與“從甲盒中任取一球，是白球”的概率，進而由條件概率公式計算可得答案；
（3）用間接法：根據題意，分析可得，若甲盒中白球增加時，有2種情況：①從甲盒中取出了兩個紅球，而從乙盒中放回甲盒的為兩個白球或一紅一白，②從甲盒中取出了一紅一白兩個球，而從乙盒中放回甲盒的為兩個白球，由相互獨立事件的概率乘法公式計算可得其概率，將其相加可得“甲盒中白球增加”的概率，由對立事件的概率性質，計算可得答案．

解答：解：（1）設乙盒中紅球有x個，
則從乙盒中任取兩個球，有C_x+3²種情況，而取到兩個白球的情況有C₃²=3種；
取到兩個白球的概率

3

C 2 x+3

=

3

28

，
即C_x+3²=28，解可得x=5，或x=-10（舍）
則乙盒中紅球有5個；
（2）根據題意，從甲盒中任取兩個球，有C₈²=28種情況，其中都是白球的情況有C₄²=6種，
有一個是白球的取法是16種，
故已知一個是白球的情況下，第二個也是白球的概率是

6

16+6

=

3

11

；
（3）若甲盒中白球增加了，則有2種情況：
①從甲盒中取出了兩個紅球，而從乙盒中放回甲盒的為兩個白球或一紅一白，
此時的概率為P₁=

C 2 4

C 2 8

×

C 2 3 + C 1 3 C 1 7

C 2 10

=

4

35

，
②從甲盒中取出了一紅一白兩個球，而從乙盒中放回甲盒的為兩個白球，
此時的概率為P₂=

C 1 4 C 1 4

C 2 8

×

C 2 4

C 2 10

=

8

105

，
所以甲盒中白球增加的概率為P=P₁+P₂=

4

35

+

8

105

=

4

21

；
故甲盒中白球沒有增加的概率為1-

4

21

=

17

21

．

點評：本題綜合考查概率的計算，涉及的事件類型較多，要明確事件之間的關系，再選擇對應的概率公式計算，尤其要注意（3）中，乙盒中小球數目的變化．