Question

如圖所示，已知、、是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，過(guò)橢圓中心，且，．

（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上是否存點(diǎn)，使得？若存在，有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)），若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）過(guò)橢圓上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，作圓的兩條線(xiàn)，切點(diǎn)分別為、，，若直線(xiàn) 在軸、軸上的截距分別為、，證明：為定值.

Answer 1

（1）；（2）存在，且有兩個(gè)；（3）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）根據(jù)題中條件得到值，然后根據(jù)題中的幾何條件得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程求出值，從而確定橢圓的方程；（2）解法一是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式將等式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的直線(xiàn)方程，注意到直線(xiàn)過(guò)橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，從而確定滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；解法二是也是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式將等式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的直線(xiàn)方程，再將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，利用的正負(fù)確定所滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，先根據(jù)題中條件結(jié)合圓的幾何性質(zhì)得到，，從而得出、、、四點(diǎn)共圓，并寫(xiě)出圓（以的長(zhǎng)為半徑的圓）的方程，通過(guò)將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入圓的方程，將兩個(gè)等式相減的辦法得到直線(xiàn)的方程，進(jìn)而求出、（由點(diǎn)的坐標(biāo)表示），并將點(diǎn)的坐標(biāo)由、表示，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程化簡(jiǎn)即可證明相關(guān)問(wèn)題；解法二是設(shè)、、三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用圓的幾何性質(zhì)得到，先利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，同時(shí)寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，再將點(diǎn)代入上述兩直線(xiàn)的方程，通過(guò)比較得出直線(xiàn)的方程，進(jìn)而求出、（由點(diǎn)的坐標(biāo)表示），并將點(diǎn)的坐標(biāo)由、表示，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程化簡(jiǎn)即可證明相關(guān)問(wèn)題.
試題解析：（1）依題意知：橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，則，
設(shè)橢圓的方程為，
由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知 又，，
，，為等腰直角三角形，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將的坐標(biāo)代入橢圓方程得，
所求的橢圓的方程為；
（2）解法一：設(shè)在橢圓上存在點(diǎn)，使得，設(shè)，則
，
即點(diǎn)