【題目】已知函數
（1）若函數
有零點，求實數
的取值范圍；
（2）證明：當
時， 
【答案】（I）
；（II）詳見解析.
【解析】試題分析：（I）對函數求導，可得函數單調性，并求得函數的最小值，若函數有零點，函數最小值小于零且在定義域范圍有函數值大于零，解不等式可得
的范圍；(Ⅱ)將
代入不等式化簡為
，可構造函數
利用導數判斷單調性可知在
條件下
最小值為
， 
最大值為
．可證命題．
試題解析：
(Ⅰ)法1: 函數
的定義域為
.
由
, 得
.
因為
,則
時, 
; 
時, 
.
所以函數
在
上單調遞減, 在
上單調遞增.
當
時, 
.
當
, 即
時, 又
, 則函數
有零點.
所以實數
的取值范圍為
.
法2：函數
的定義域為
.
由
, 得
.
令
，則
.
當
時, 
; 當
時, 
.
所以函數
在
上單調遞增, 在
上單調遞減.
故
時, 函數
取得最大值
.
因而函數
有零點, 則
.
所以實數
的取值范圍為
.
(Ⅱ) 要證明當
時, 
,
即證明當
時, 
, 即
.
令
, 則
.
當
時, 
;當
時, 
.
所以函數
在
上單調遞減, 在
上單調遞增.
當
時, 
.
于是,當
時, 
①
令
, 則
.
當
時, 
;當
時, 
.
所以函數
在
上單調遞增, 在
上單調遞減.
當
時, 
.
于是 當
時, 
②
顯然, 不等式①、②中的等號不能同時成立.
故當
時, 
.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】(2016·雅安高一檢測)已知函數f(x)＝2x的定義域是[0,3]，設g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，
(1)求g(x)的解析式及定義域；
(2)求函數g(x)的最大值和最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
是定義在
上的奇函數，且當
時， 
．
（1）求函數
的解析式；
（2）現已畫出函數
在
軸左側的圖象，如圖所示，請補全完整函數
的圖象；
（3）根據（2）中畫出的函數圖像，直接寫出函數
的單調區間．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
（
）的左右焦點分別為
， 
，離心率為
，點
在橢圓
上， 
， 
，過
與坐標軸不垂直的直線
與橢圓
交于
， 
兩點， 
為
， 
的中點．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）已知點
，且
，求直線
所在的直線方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】分形幾何學是數學家伯努瓦·曼德爾布羅在
世紀
年代創立的一門新的數學學科，它的創立為解決傳統科學眾多領域的難題提供了全新的思路.按照如圖所示的分形規律可得如圖乙所示的一個樹形圖：
若記圖乙中第
行白圈的個數為
，則
__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，某小區準備將閑置的一直角三角形(其中∠B＝
，AB＝a，BC＝
a)地塊開發成公共綠地，設計時，要求綠地部分有公共綠地走道MN，且兩邊是兩個關于走道MN對稱的三角形(△AMN和△A′MN)，現考慮方便和綠地最大化原則，要求M點與B點不重合，A′落在邊BC上，設∠AMN＝θ.
(1)若θ＝
時，綠地“最美”，求最美綠地的面積；
(2)為方便小區居民的行走，設計時要求將AN，A′N的值設計最短，求此時綠地公共走道的長度.
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