Question

【題目】如圖（1）,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D是AP的中點,E,F,G分別是PC,PD,CB的中點,將△PCD沿CD折起,使點P在平面ABCD內的射影為點D,如圖（2）．

（1）求證:AP∥平面EFG;

（2）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

試題分析：（I）利用三角形的中位線定理、平行線的傳遞性、平行四邊形的判定定理、線面平行的判定定理等即可得出；（II）由已知點P在平面ABCD上的射影為點D，可得PD⊥平面ABCD．即PD是三棱錐P-ABC的高．利用三棱錐P-ABC的體積V=S△ABC×PD即可得出

試題解析：（I）證明：取AD的中點H，連接FH、GH．

∵E，F，G分別為PC、PD、CB的中點，∴EF∥CD，CGDH，

∴四邊形CDHG是平行四邊形，∴CD∥GH．

∴EF∥GH．∴四點EFHG四點共面．又FH∥PA．

PA平面EFGH，FH平面EFGH．∴PA∥平面EFGH．

（II）解：∵點P在平面ABCD上的射影為點D，∴PD⊥平面ABCD．

即PD是三棱錐P-ABC的高．

而．

∴三棱錐P-ABC的體積V=．