Question

已知橢圓左右兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓上一點(diǎn)，且在x軸上方，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）當(dāng)e取最大值時(shí)，過F₁，F(xiàn)₂，P的圓Q的截y軸的線段長為6，求圓Q的方程；
（3）在（2）的條件下，過橢圓右準(zhǔn)線L上任一點(diǎn)A引圓Q的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，試探究直線MN是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請求出該定點(diǎn)；否則，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：由相似三角形知，，，2a²λ-b²λ=b²，2a²λ=b²（1+λ），．
（1）由，知，在上單調(diào)遞減．由此能求出橢圓的離心率e的取值范圍．
（2）當(dāng)時(shí)，，所以，2b²=a²．由PF₂⊥F₁F₂，知PF₁是圓的直徑，圓心是PF₁的中點(diǎn)，由此能求出圓Q的方程．
（3）橢圓方程是，右準(zhǔn)線方程為，由直線AM，AN是圓Q的兩條切線，知切點(diǎn)M，N在以AQ為直徑的圓上．設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為，由此能夠?qū)С鲋本�MN必過定點(diǎn)．
解答：解：由相似三角形知，，，
∴2a²λ-b²λ=b²，2a²λ=b²（1+λ），．
（1），∴，在上單調(diào)遞減．
∴時(shí)，e²最小，時(shí)，e²最大，
∴，∴．
（2）當(dāng)時(shí)，，∴，∴2b²=a²．
∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圓的直徑，圓心是PF₁的中點(diǎn)，
∴在y軸上截得的弦長就是直徑，∴PF₁=6．
又，∴．
∴，圓心Q（0，1），半徑為3，x²+（y-1）²=9．
（3）橢圓方程是，右準(zhǔn)線方程為，
∵直線AM，AN是圓Q的兩條切線，∴切點(diǎn)M，N在以AQ為直徑的圓上．設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴該圓方程為．∴直線MN是兩圓的公共弦，兩圓方程相減得：，這就是直線MN的方程．
該直線化為：，
∴，∴
∴直線MN必過定點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題考查直線 和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．