Question

【題目】在四棱錐中，，，.

（1）若點為的中點，求證：平面；

（2）當(dāng)平面平面時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）通過作的中點，連結(jié)，，通過中位線定理分別證明，來證明平面平面，從而證明平面

（2）當(dāng)平面平面時，再結(jié)合題干信息，可作的中點，連接，以的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法來求解二面角的余弦值

解：（1）取的中點，連結(jié)，.

∵為等邊三角形，∴.

∴，又，

∴四邊形是平行四邊形，∴.

又∵平面，平面，

∴平面.

∵為的中點，為的中點，∴.

同理：平面.

∵，∴平面平面.

∵平面，∴平面.

（2）取的中點，連結(jié)，，則，.

∵平面平面，，

∴平面，∴，，.

以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，.

∴，，

平面的一個法向量為.

設(shè)平面的法向量為，則，即.

令，得，，∴平面的一個法向量，

∴.

設(shè)二面角的大小為，結(jié)合圖形可知.